힐베르트의 23가지 문제: 첫 번째 문제 연속체 가설은 참인가?

무한을 둘러싼 가장 큰 수수께끼! 혹시 '중간 크기의 무한'이 존재할까요?

 

여러분, 세상에서 가장 큰 수는 무엇일까요? 글쎄요, 숫자는 아무리 세어도 끝이 없으니 '무한'이 가장 크다고 할 수 있겠죠! 그런데 이 '무한'에도 종류가 있다는 사실, 알고 있었나요? 마치 작은 무한, 큰 무한처럼요!

 

오늘은 100년도 더 전에 다비트 힐베르트라는 아주 똑똑한 수학자가 던진 재미있는 질문이자, 아직도 수학자들을 고민하게 만드는 특별한 수수께끼를 알아볼 거예요. 바로 '연속체 가설'이라는 문제랍니다!

 

 

1. 서점에 숨겨진 두 종류의 '무한한 책' 서가 이야기

상상력을 조금만 발휘해 볼까요? 아주아주 넓은 서점에 들어갔다고 생각해 보세요. 이 서점에는 셀 수 없을 만큼 많은 책들이 꽂혀 있는데, 책들은 크게 두 종류의 서가에 나뉘어 있어요.

 

첫 번째 서가: '번호표 붙일 수 있는' 무한한 책들

이 서가에는 1권, 2권, 3권... 이렇게 번호표를 정확히 붙여가며 셀 수 있는 모든 종류의 책이 끝없이 꽂혀 있어요. 예를 들어, 모든 동화책, 모든 위인전, 모든 과학 학습만화가 여기에 속하죠.

아무리 많아도 순서를 정해 번호를 붙일 수 있다는 점이 중요해요. 이게 수학에서 말하는 **'정수의 개수'**와 같은 '작은 무한'이랍니다.

 

두 번째 서가: '번호표 붙일 수 없는' 무한한 책들

이 서가에는 좀 특별한 책들이 있어요. 이 책들은 아무리 노력해도 번호표를 붙일 수 없는 종류의 책들이에요! 예를 들어, 책 제목이 '0.123456789...'처럼 끝없이 이어지거나, '세상 모든 색깔의 아주 작은 차이'처럼 너무 많고 복잡해서 순서를 정해 번호를 매기는 것이 불가능하죠.

 

이건 수학에서 말하는 '실수의 개수'와 같은 '훨씬 더 큰 무한'이랍니다.

힐베르트의 수수께끼: "중간 크기 서가가 있나요?"

힐베르트 아저씨는 이렇게 질문했어요.

 

"자, 그럼 '번호표 붙일 수 있는' 책들의 서가(작은 무한)와 '번호표 붙일 수 없는' 책들의 서가(훨씬 더 큰 무한) 사이에, 이 중간쯤 되는 크기의 또 다른 서가가 과연 있을까?"

 

이게 바로 연속체 가설이에요. 즉, 두 종류의 무한 사이에 또 다른 무한의 크기가 존재하는지 궁금해한 거죠.

 

왜 아직도 '미스터리'일까요?

 

수학자들은 100년 넘게 이 질문의 답을 찾기 위해 노력했어요. 그리고 아주 놀라운 사실을 발견했답니다!

 

어떤 수학자는 "아무리 찾아봐도 중간 서가는 없어 보인다!"라고 말했어요. ("없다고 가정해도 서점 운영에 아무 문제가 없어!") 또 다른 수학자는 "아니야! 중간 서가가 있다고 가정해도 서점 운영에 아무 문제가 없어!"라고 말했죠.

 

이게 무슨 이야기냐고요? 쉽게 말해, 우리가 현재 가지고 있는 서점 운영 규칙(수학의 가장 기본적인 규칙들)만으로는 그 '중간 크기의 서가'가 정말 있는지 없는지를 절대로 알 수 없다는 것이 밝혀진 거예요. 마치 투명한 벽이 가로막고 있어서 아무리 들여다봐도 볼 수 없는 것처럼 말이죠!

 

AI이미지: 한 수학자가 칠판에 수학 문제를 풀고 있음

 

2. 수학자들이 찾고 있는 '새로운 규칙'

그래서 수학자들은 이제 이렇게 생각하고 있어요. "지금의 규칙으로는 안 되겠어! 새로운 규칙을 서점에 추가해야 이 수수께끼를 풀 수 있을 거야!"

 

① "초특급 대형 서가가 존재한다!" 규칙 (큰 기수 공리)

어떤 수학자들은 "우리가 상상하기 어려운, 엄청나게 큰 '초특급 대형 서가'가 있다고 규칙을 정하자!"라고 제안해요. 이렇게 큰 서가를 가정하면, 신기하게도 '중간 크기의 서가는 없다' 또는 '있다'는 결론이 자연스럽게 따라 나오게 되는 거죠.

이 규칙을 좋아하는 수학자들은 주로 '중간 크기 서가는 존재한다'는 쪽에 더 가깝게 생각하는 편이에요.

 

② "모든 서점 게임에는 이기는 전략이 있다!" 규칙 (결정성 공리)

또 다른 수학자들은 "서점에서 손님들이 벌이는 복잡한 '무한 게임'에는 언제나 이길 수 있는 방법(필승 전략)이 있다고 규칙을 정하자!"라고 말해요. 이 규칙을 추가하면, 이것도 놀랍게도 '중간 크기 서가는 존재한다'는 쪽으로 기울게 된답니다.

 

3. 여전히 진행 중인 무한의 모험!

지혜로운 어른들의 말씀처럼, 풀리지 않는 문제는 없답니다!

 

하지만 이런 새로운 규칙들을 추가하는 것이 모든 수학자들의 동의를 얻은 것은 아니에요. 어떤 수학자들은 "이 규칙들이 정말 맞는 걸까? 너무 우리 마음대로 정하는 건 아닐까?" 하고 고민하기도 하죠.

 

이렇게 '연속체 가설'은 단순히 수학 문제를 넘어서, '무한이란 대체 무엇일까?', '어떤 규칙이 진짜 옳은 규칙일까?' 하는 깊은 질문들을 던지고 있어요. 마치 우리가 어떤 '서점 운영 규칙'을 선택하느냐에 따라, 무한의 세계가 다르게 보일 수 있다는 흥미로운 상황인 셈이죠.

 

하지만 인류는 예로부터 "하늘 아래 새로운 것은 없으며, 오직 그 진리를 찾아가는 과정만이 있을 뿐"이라고 말해왔습니다. 아무리 어려운 문제라도 꾸준히 고민하고 연구하면 언젠가는 해답을 찾을 수 있다는 믿음이죠. 이처럼 '연속체 가설'과 같은 난해한 수학의 규칙들도 언젠가는 정복될 것이며, 그 과정에서 얻어지는 새로운 지식과 기술은 분명 우리 인류의 삶을 더욱 풍요롭고 발전시키는 데 크게 이바지할 것입니다.